Всё о финансовых рынках

Среди различных разделов трейдинга, пожалуй, только money-management поддается математическому исследованию. Как это ни покажется странным, вопрос оптимального управления деньгами уже давно решен математиком Келли и известен как критерий Келли. Это не просто один из вариантов управления деньгами - это оптимальное  управление.

Вместо предисловия

Среди множества литературы, в том числе и на английском языке, очень трудно найти необходимую информацию, а тем более собрать ее в единое целое. Это связано в первую очередь с тем, что большинство авторов книг по трейдингу - люди, далекие от математики, и поэтому необходимые формулировки и доказательства у них не присутствуют, и найти их зачастую можно только в математических статьях.

В данной статье сначала приводится обобщение критерия Келли, а затем показано, как применяется критерий Келли для реальных результатов торговых систем. По возможности опущены многие определения и утверждения, которые будут понятны только людям, хорошо знакомым с математикой, а даны конечные результаты исследований.

Критерий Келли обладает рядом свойств для заданной торговой системы с положительным математическим ожиданием. Это, в частности, - размер капитала неограниченно растет, вероятность разорения игрока стремится к нулю при увеличении числа трейдов. Капитал будет расти быстрее, чем при любой другой стратегии управления средствами. На самом деле, делая ставки по критерию Келли, игрок играет оптимально, но только в очень частном случае. Оптимален критерий вот в каких смыслах:

• максимально быстрое достижение капиталом заранее заданной величины;
• достижение максимальной величины капитала после фиксированного числа сделок.

Стандартный критерий

Самая общая формулировка критерия Келли, с которой мне доводилось встречаться, выглядит так:

x₀ = p – q/w (1)

где р - вероятность выигрыша, q -вероятность проигрыша, w - средний выигрыш.

По этому критерию всегда необходимо ставить х₀ от размера капитала, т.е. если х₀ = 0.1, то при каждой сделке надо ставить десятую часть капитала. Далее этот критерий будет называться «простым».

Почти нигде не написано, что в такой формулировке критерий Келли предполагает, что в торговой системе могли быть только результаты -1*ставку (то есть при ставке 0.1 игрок проигрывает десятую часть капитала) или +w*х ставку (то есть или выигрыш w или проигрыш -1). А вот для более общего случая, где возможно довольно большое число различных положительных и отрицательных исходов, этот критерий не подходит. Автором были найдены примеры, где такой «простой» критерий не дает оптимального результата, более того, делая ставки по такому критерию в долгосрочной перспективе, трейдер разорится.

Поэтому необходимо обобщить критерий Келли. Опуская теоретические выкладки, приведу лишь результаты такого обобщения, для наглядности демонстрируя после формулировок конкретный пример.

Обобщение критерия

Пусть торговая система дала результаты {a_i, k_i,} (i = 1,..., n), то есть k₁ сделок закончились с результатом a₁, k₂ сделок закончились с результатом a₂,...,k_n сделок закончились с результатом а_n. Если а_i>0, то сделка (или сделки) была прибыльной, если а_i<0, то убыточной. Здесь и далее сделки с нулевым результатом отбрасываются, они не влияют на результативность торговой системы, то есть а_i ≠0. Будем считать, что а_i упорядочены по возрастанию, то есть a₁<a₂<...<a_n).

Примечание. Если не было ни одной убыточной сделки, то очевидно, что оптимальная игра будет при использовании максимального плеча.

Обозначим максимальное плечо, которое дает брокер за L, а общее число сделок за

Обобщенный критерий Келли выглядит так (здесь приводится только формулировка):

1. Торговая система с исходами a_i, k_i (i = 1,..., n) потенциально может давать доход тогда и только тогда, когда
Это условие эквивалентно тому, что математическое ожидание торговой системы положительно.

Примечание. Неравенство строгое: случай, когда математическое ожидание равно нулю, ведет к разорению игрока в долгосрочной перспективе при любой стратегии игрока. 2.Введем функцию ад ±^.Известно, что существует и единственно 0<-l/a, такое, что E(f) = 0. Оптимальная ставка равна x0 = min(f, L). х0 - плечо, которое необходимо использовать при оптимальной игре. х0 также позволяет легко вычислить число лотов при заданном текущем капитале.

Резервный Банк Австралии считает, что кризис завершается