Часть 2. Начало в № 6 (44)

В первой части статьи [1] автор говорил о намерении на качественном уровне объяснить некий эффект, связанный с начислением процентов на проценты. Но... Вместо этого занялся выводом достаточно громоздких формул. Во второй части настало время оправдать такой поворот.

Эффект получен, но...

Напомню, что в первой части статьи мы получили формулу для ожидаемого конечного капитала инвестора:

(1)

Здесь M – начальный капитал инвестора, a – прибыль инвестора в результате одной удачной сделки, b – убыток инвестора в результате одной неудачной сделки, p и q – вероятности удачи и неудачи соответственно, а t – количество входов в рынок. Получена также формула, позволяющая находить оптимальную долю инвестируемых средств:

(2)

Таков, на первый взгляд, «сухой остаток» первой части статьи. Теперь не составляет никакого труда подставить в эти формулы соответствующие численные значения, чтобы получить интересующие нас количественные результаты. Можно пойти даже дальше. В своей статье [2] Владимир Лукашевич, не желая утруждать читателя формулами и вычислениями, привел сразу готовые результаты вычислений по формуле (1). «Для простоты» он положил M=100, a=2, b=1, p=q=0.5, t=100 и получил зависимость конечного капитала от доли инвестируемых средств. Я свел результаты его вычислений в таблицу 1. Из нее наглядно видно, что наилучший результат получается, когда инвестируется четверть имеющихся средств. Это соответствует тому, что дает формула (2).

Казалось бы, что еще нужно? Для «нормального» человека таблица 1 гораздо нагляднее длинной формулы (1). Так зачем же забивать себе голову лишней информацией? Мы же не собираемся диссертации защищать. Формулы (1) В. Лукашевич не приводит, а, глядя на таблицу, трудно заподозрить что-нибудь неладное: выглядит она весьма убедительно.

А вот если мы посмотрим на формулы, то «смутные сомнения» немедленно появятся. В формуле (2) произведение ab стоит в знаменателе, поэтому естественно ожидать, что появятся неприятности, если это произведение станет маленьким. В. Лукашевич «для простоты» выбрал значения a=2, b=1. Это означает, что в случае успеха инвестор утраивает вложенную сумму, а в случае неудачи – теряет весь вложенный капитал. Такая ситуация характерна, скорее, для казино, чем для финансового рынка [3].

Возьмем более реалистичные значения a=0.2, b=0.1 (я сохранил прежнее отношение прибыль/убыток). При значениях p<1/3 формула (2) даст отрицательное значение, что говорит: от игры разумнее полностью отказаться. А при p>0.4 получается значение, большее 1, что соответствует выводу: инвестировать следует все имеющиеся деньги.

Нетривиальный результат получается, только если 0.33<p<0.4. При установке стоп-ордеров, соответствующих значениям a=0.02, b=0.01, этот интервал уменьшится до 0.33<p<0.34. Объем статьи не позволяет продолжать подобные примеры. Надеюсь, качественная картина уже и так ясна. Читателю же советую еще поиграть цифрами, чтобы «почувствовать» количественные значения.

«Чувствовать цифру»

Из приведенных расчетов можно сделать вывод: интересующий нас качественный эффект может возникать не так уж часто. В самом деле, вероятность p характеризует, с одной стороны, состояние рынка, с другой – квалификацию конкретного инвестора, то есть вещи в значительной степени объективные, не зависящие от воли инвестора. И если инвестор играет не слишком агрессивно, этот объективный параметр должен попасть в достаточно узкие пределы для того, чтобы интересующий нас качественный эффект проявился.

Кстати, интересно с этих позиций взглянуть на пример В. Лукашевича, соответствующий значениям a=2, b=1. В этом случае нетривиальный качественный результат появляется при 0.33<p<1. То есть, грубо говоря, эффект имеет место всегда!

В статье [2] вместо формул (1) и (2) приведена гора цифр и графиков. Своей массой они производят сильное впечатление. Однако все они относятся к случаю a=2, b=1, то есть весьма заметно «лукавят». Не имея формул, читатель вынужден либо верить автору, либо не верить. Формулы дают третью возможность – подумать.

Таковы первые результаты количественного анализа формулы (2). Существует мнение, что экономист должен «чувствовать цифру». В таком случае он должен был бы почувствовать, что использование значений a=2, b=1 для демонстрации интересующего нас эффекта не совсем корректно. Как мы видели, чувства, к сожалению, иногда подводят. Значит, формулы мы писали все-таки не совсем уж напрасно.

Сильная устойчивость

Взглянем на графики зависимости оптимальной доли вкладываемых средств α от вероятности успеха отдельно взятой сделки p (рис. 1). Нетрудно заметить, что чем меньше значения a и b, тем круче поднимаются эти графики. На практике это означает, что чем меньше значения a и b, тем сильнее влияют ошибки в измерении вероятности p на ошибку в правильном значении доли вкладываемых средств.

Рис. 1. Зависимость оптимальной доли вкладываемых средств от вероятности успеха.

Нетрудно сообразить, что эти две ошибки связаны соотношением:

где Δp – ошибка в найденном значении вероятности успеха, а Δα – ошибка в оптимальном значении доли вкладываемых средств. Характерные значения этих ошибок приведены в таблице 2. Видно, что при a=0.2, b=0.1 более-менее приемлемые результаты получаются при Δp порядка 0.01, а при a=0.02, b=0.01 содержательные результаты получаются только при Δp порядка 0.001.

Подумаем, насколько все это реально. Конечно, в известной степени ошибка в определении вероятности p зависит от уровня компетентности конкретного инвестора. Но есть и некоторые фундаментальные ограничения. В самом деле, для определения значения этой вероятности, скорее всего, придется воспользоваться статистикой. Зная предысторию, мы можем поделить число успешных сделок на их общее число и получим оценку искомой вероятности. И чем длиннее временной ряд, тем точнее получится оценка вероятности.

Это с одной стороны. А с другой, все наши рассуждения имеют смысл лишь тогда, когда рынок стабилен (в [1] это соответствует предположению П4). На практике любой рынок можно считать стабильным лишь приближенно, причем с тем большей натяжкой, чем больший временной интервал мы рассматриваем.

Можно было бы привести и количественные оценки, но для этого пришлось бы слишком далеко углубиться в теорию вероятностей. Экономическая же интуиция говорит, что значения Δp порядка 0.001 совершенно нереалистичны, а добиться ошибки Δp порядка 0.01 если и можно, то с большим трудом.

«Половина ошибки»

Кстати, подобные соображения позволяют оценить и реальные значения a и b. Нетрудно сообразить, что чем больше значения a и b, тем дольше придется ждать срабатывания соответствующего стопордера. Конечно, никто не может запретить выбрать значения a=2 и b=1, но ждать успеха придется очень долго.

Возьмем для примера рынок евро/доллар. В хорошем приближении можно считать, что за всю историю этого рынка курс сначала опустился от значения 1.2 до 0.8, а затем вернулся к прежнему уровню. Если бы мы выбрали значения a=0.2 и b=0.1, то за это время четыре-пять раз сработал бы stop-loss, и два-три раза – stop-profit. А даже значения a=0.2 и b=0.1 на этом рынке отнюдь не для внутридневного трейдинга.

Здесь уместно сделать одно отступление. Ни один уважающий себя физик не станет разговаривать с вами, если вы скажете, что вероятность успеха в каком-то событии равна 0.3. Содержательный разговор может начаться лишь после того, как вы укажете погрешность, например, сказав p=0.3±0.1. Долгая история физики приучила к этому, поскольку примеры, аналогичные разобранному выше, отнюдь не редкость. К сожалению, в экономике задумываться о точности не принято. К чему это может привести, мы видели выше.

Кстати, физики говорят: «Неверная цифра – это ошибка, лишняя цифра – это пол-ошибки». Взглянем с этих позиций на вторую строку таблицы 1. В ней мы видим результат $36100. Налицо три значащие цифры. Значит, и исходные данные, в частности вероятность p, должны быть известны с точностью 0.1%. Вот вам уже и «половина ошибки». Кстати, это не самый яркий пример. Мне приходилось видеть в экономических расчетах и семь значащих цифр!

Слабая устойчивость

В некоторых задачах, особенно экономического характера, приходится сталкиваться со следующим эффектом: оптимальное решение (в нашем случае это доля инвестируемых средств) сильно зависит от оценки неопределенного параметра (в нашем случае вероятности успеха), а результат действий (в нашем случае это ожидаемый конечный капитал) зависит от этой оценки гораздо меньше. Нелишне проверить, как обстоит дело в рассматриваемой задаче.

Правильную меру этой зависимости дает относительная погрешность. Допустим, мы точно знаем вероятность успеха p. Тогда мы можем рассчитывать на среднее значение конечного капитала S, которое можно найти, подставив значение α из формулы (2) в формулу (1). А что произойдет, если в своей оценке вероятности p мы ошибемся на величину Δp? Тогда мы в соответствии с формулой (2) найдем не совсем правильную долю вкладываемых средств и в результате получим другое значение конечного капитала S+ΔS. Нас будет интересовать отношение ΔS/S.

Хорошую оценку этого отношения, по крайней мере, при маленьких значениях Δp, можно получить следующим образом. Подставим значение α из формулы (2) в формулу (1), прологарифмируем полученную формулу, а затем возьмем производную по p (с учетом того, что q=1–p). Чтобы не загромождать статью стандартными выкладками, приведу сразу окончательный результат:

Как и следовало ожидать, относительная ошибка растет с ростом количества сделок t. Но для нас важнее, что мы опять имеем произведение ab в знаменателе, хотя и под логарифмом. Приведем значения выражения в скобках для уже рассмотренных нами значений параметров. При a=2 и b=1 будем иметь –0.079, при a=0.2 и b=0.1 получим –4.7, а при a=0.02 и b=0.01 получается –11. То есть в интересных для игры на финансовых рынках случаях зависимость оказывается весьма существенной. Таким образом, при интересующих нас значениях параметров с устойчивостью дело обстоит тоже не слишком хорошо.

Правда, уместно сделать одно замечание. Скорее всего, истинное значение p мы никогда не узнаем и о реально упущенной выгоде судить не сможем. На практике мы сможем увидеть величину S+δS, которая получается следующим образом. Исходя из нашей оценки вероятности p, мы находим «оптимальную» долю инвестируемых средств и пользуемся ею. На самом деле вероятность успеха равняется не p, а p+Δp, из-за чего мы и получим S+δS вместо S.

Отношение δS/S при малых Δp можно оценить следующим образом. Прологарифмируем формулу (1), найдем производную по p, а затем подставим в полученную формулу значение α из формулы (2). В результате получим:

При всех рассмотренных выше значениях параметра мы будем иметь одно и то же значение логарифма, равное 0.69. Это значение невелико, поэтому, глядя на полученные цифры, мы дефект нашей теории можем благополучно просмотреть.

Вычисления с аккуратностью

Обратим внимание на одно забавное обстоятельство. В таблице 1 используется значение α=0.51 вместо, казалось бы, гораздо более естественного значения α=0.5. Дело в том, что вычисления по формуле (1) для α=0.5 даже без калькулятора легко дают результат: ровно 100. Видимо, автору [2] столь круглая цифра показалась не слишком убедительной.

Я же хочу обратить внимание на следующий факт. Велика ли разница, брать α=0.51 или α=0.5? А результат вычислений различается больше чем в три раза!

Впрочем, результат 31 вызывает у меня некоторые сомнения. Расчеты по формуле (1) на Excel’е дают результат 59.895. По-видимому, мы по-разному округляли промежуточные результаты, а дальше снова сработал эффект малого знаменателя.

Рамки статьи не позволяют углубляться в обсуждение этого вопроса. В данном конкретном случае результат не слишком принципиален: в любом случае искомое число – маленькое. Я затеял этот разговор ради следующего замечания. Вычисления на компьютере в некоторых случаях требуют известной аккуратности. Поэтому, особенно если вы пользуетесь готовой прикладной программой, нужно быть уверенным, что вычисления проведены верно. С тех пор, как computer science отделилась от математики, культура проведения приближенных расчетов заметно упала, и a priori такой уверенности нет.

Pro и contra

Проведенные рассуждения показывают: во-первых, качественные выводы, сделанные в [2], имеют весьма ограниченную область применимости; во-вторых, даваемые теорией результаты ненадежны, поскольку в практически интересных случаях требуют от инвестора такой информированности, на которую трудно рассчитывать.

Эти выводы получены при помощи сравнительно элементарного математического анализа. Для того чтобы провести весь этот анализ, достаточно твердого знания школьной программы и минимальных знаний теории вероятностей. Совсем обойтись без теории вероятностей, разумеется, нельзя, поскольку исходная модель строится в вероятностных терминах. Однако посещения первой лекции любого систематического курса теории вероятностей заведомо достаточно.

Несомненно, грамотно построенный эксперимент привел бы к тем же выводам. Но, по-видимому, организовать его гораздо сложнее, чем написать десяток формул. Как прийти к тем же выводам иначе, я не знаю. А к чему может привести слепое использование готовых выводов, показано, надеюсь, достаточно ясно.

Кстати, понятно и происхождение сделанной ошибки. Изначально теория разрабатывалась именно для использования в казино [4]. А в этом случае, как мы видели, она вполне работоспособна. Кстати, и вероятность успеха при игре в рулетку и подобные игры оценить можно гораздо точнее. Для игры в рулетку эта теория даже успешно применялась на практике. Любопытную историю на этот счет можно найти в [5]. За некритическое перенесение теории в другую область ее авторы, разумеется, отвечать не могут.

Интересно отметить, что доводы pro и contra данной теории имеют одну и ту же природу. Сама теория основана на быстром росте экспоненциальной функции при t→∞. А возражения против нее основаны на быстром росте функции 1/t при t→0.

В заключение должен подчеркнуть следующее. Поднятые в предыдущих разделах вопросы, связанные с устойчивостью, гораздо более фундаментальны, чем теория управления размером открытой позиции. Последняя дала лишь удобный повод поговорить о них.

Конечно, теория устойчивости выходит за рамки школьной программы. Однако она достаточно давно и хорошо разработана [6]. Но в экономическую практику она до сих пор не проникла, хотя, казалось бы, именно практики должны ее «чувствовать кожей», поскольку нередко мелкие ошибки приводят к большим убыткам.

Литература:

1. Горелов М. Управление размером открытой позиции // Валютный спекулянт, 2003, № 6, с. 52-55.

2. Лукашевич В. Многоликая мультипликация // Валютный спекулянт, 2001, № 2, с. 35-39.

3. Ханин И. Метод фиксированных стопов // Валютный спекулянт, 2002, № 12, с. 62-64.

4. Dubins L. E., Savage L. J. Yow to gamble if you must. – New York: MCGraw-Hill, 1965. – 249 p.

5. Реньи А. Трилогия о математике. – М.: Мир, 1980. – 376 с.

6. Молодцов Д. А. Устойчивость принципов оптимальности. – М.: Наука, 1987. – 280 с.