После завершения марковских процессов ценообразования [1] к рынку возвращается память. Поэтому последующая его динамика во многом обусловлена групповым сознанием участников рынка. Если это сознание хорошо структурировано, то возможно зарождение сильных промежуточных трендов, которые сопровождаются турбуленцией цены исследуемого актива. 

Важной особенностью финансовых рынков является то, что их курсовая эволюция может происходить за счет свинговых скачков из одной фазы в другую, причем иногда «прыжки» совершаются сразу через две «ступеньки» (например, из фазы эффективного рынка – сразу в фазу когерентного [2]).

И это не противоречит законам термодинамики, поскольку все основные сегменты глобального финансового рынка не являются замкнутыми (между ними, например, происходят переливы капиталов). Ведь энтропия рынка, служащая мерой беспорядка, в открытых системах со временем может уменьшаться из-за диссипации.

Помимо этого, рынки способны к самоорганизации после воздействия внешних фундаментальных движущих сил [3]. Именно благодаря им рынки становятся активными, т.е. приобретают способность к автономному ценообразованию.

Слово о валютной турбулентности

Свинговые скачки фазы рынка связаны с зарождением турбуленции курсов исследуемых активов. Из гидродинамики известно, что турбулентное движение возникает при больших скоростях течения жидкости. Оно характеризуется стохастическими пульсациями полей скоростей, температуры, давления и т.п. В модели зарождения турбулентности по Льву Ландау спонтанное возникновение завихрений в потоке соотносилось с увеличением числа эффективных степеней свободы, что и отвечало за все большую автономность от внешних условий течения жидкости.

Турбуленция валютного курса делает рынок все более сложной активной средой, где балом может править случай. Но где же лежит грань между регулярным рынком (пусть даже со сложно организованной структурой) и хаосом? Такой гранью может быть устойчивость рынка по отношению к малым курсовым возмущениям. Если рынок неустойчив к ценовым флуктуациям исследуемого актива, ние невозможно в принципе (необходимо привлекать статистические способы диагностики).

В этой связи хотелось бы научиться получать прибыль не только на ценовых движениях при фазовых скачках рынка в сторону самоорганизации и создания регулярных рыночных, в т.ч. и трендовых, структур (т.е. переходы от одной фазы к другой с понижением фрактальной размерности [2]). Но и наоборот, когда происходит диссипация регулярных структур рынка обратно к фазе эффективного рынка.

Ранее [1] мы рассмотрели марковские цепи евро/доллара как реакцию рынка на сильное внешнее воздействие, в нашем примере – на выход экономического индикатора Nonfarm payrolls (NFP) США. Марковские цепи можно точнее понять через моделирование рынка, в частности, на базе скачкообразно-диффузионной динамики цены актива. Такое моделирование позволит нам рассматривать эволюцию рынка как последовательность автономных актов самоорганизации. Понимание динамики марковского процесса исследуемого финансового инструмента, вкупе с выявлением спектра его дискретных курсовых целей, также позволит нам сразу после затухания этого процесса ценообразования проследить де-факто уровень бифуркации рынка (он характеризуется наличием нескольких возможных равноправных продолжений эволюции), а главное – выбрать будущее направление тренда. Такой выбор часто происходит за счет раскачки рынка путем слабых рыночных возмущений. Они и создают предпосылки для будущей, порой сильной постмарковской тенденции.

Скачкообразно-диффузионная модель

В рамках теории вероятностных процессов рассмотрим случайные модели процессов эволюции рынка. Для определенности остановимся на растущем рынке, когда численное значение вышедшего экономического индикатора было лучше ожидаемого [1]. При таком подходе целочисленная случайная величина х(t) используется для обозначения количества тиковых скачков курса выбранного актива к моменту времени t, а постулирующий механизм роста рынка выражаем через вероятности определенных элементарных событий, происходящих за малые интервалы времени.

Эволюция рынка может быть тогда описана вероятностным процессом {x(t), t >0} (который, по определению, является марковским [1]) на базе простых вероятностных моделей курсового роста. Но не должно создаваться впечатления, что с математической точки зрения эти модели совсем уж тривиальны.

Если интенсивности бычьих и медвежьих сделок на нашем рынке зависят от времени, то мы имеем дело с неоднородными процессами роста и падения курса исследуемого актива. Такой процесс характеризуется следующей системой дифференциальных уравнений [4]:

x = 1, 2......

где P_x(t) = P{X(t) = x}, x = 0, 1, 2, ..., n.

Решение этой системы, удовлетворяющее начальным условиям P_x(0) = 1 для х = 1 и P_x(0) = 0 для х ≠ 1, имеет вид:

P_x(t) = [1-α(t)] [1-β(t)] [β(t)]^x-1,

P₀(t) = α(t), при х = 1, 2, ....,

где

α(t) = 1 – [e-γ(t)]/ω(t),

β(t) = 1 – 1/ω(t), и

В приложениях применения марковских процессов к динамике рынка обычно главную роль играют не вероятности P_x(t), а среднее значение величины x(t) и ее дисперсия:

Е {X(t)} = e^-γ(t) – математическое ожидание,

– дисперсия.

Отсюда для заданных функций λ(t) и μ(t) получаем точные выражения для среднего значения и дисперсии x(t). В частном случае, когда λ и μ не зависят от времени,

Е {X(t)} = e^(λ-μ)t,

D²{X(t)} = (λ+μ) / (λ-μ) e^(λ-μ)t (e^(λ-μ)t – 1).

Если μ = 0, то Е {X(t)} = e^λt.

Любопытно, что это выражение идентично решению дифференциального уравнения

dx(t)/dt = λx(t), λ>0, x(0) = 1,

которое описывает простой детерминированный процесс монотонного роста курса исследуемого актива. Здесь уже x(t) может быть не целочисленной случайной величиной, а непрерывной детерминированной функцией времени.

Конечно, несмотря на это соответствие, мы не можем в общем случае утверждать, что решение функционального уравнения для детерминированного процесса роста рынка будет таким же, как и выражение для матожидания случайной величины, связанной с аналогичным вероятностным процессом.

Рыночное ралли и процессы диффузионного типа

Широко известна возможность представления дискретных во времени процессов процессами диффузионного типа [4]. Так, каждый непрерывный марковский процесс может рассматриваться как предельный случай разрывного марковского процесса. Динамический рост рынка является разрывным процессом (с точностью до тика цены), но если мы ограничимся большими рыночными курсовыми движениями, то предположение о непрерывности процесса будет оправдано.

Тогда плотность вероятности f(x, t) того, что курс актива соответствует уровню х тиков вверх в момент времени t, является решением прямого уравнения Колмогорова:

δf(x, t)/δt = 1/2 δ2 [a(x) f(x, t)]/δx2 – δ[b(x) f(x, t)]/δx ,

0< x < ∞, где

f(x, t) = f (x, x0, t) = δ P{X(t)=x/ X(0) = x0}.

Следовательно, для того чтобы характеризовать конкретную бычью активность, необходимо задать коэффициенты a(x) и b(x).

Вернемся к уравнению

dx(t)/dt = λx(t), x(0) = х0,

где x(t) – число tick up к моменту времени t, а λ>0 – интенсивность курсового роста исследуемого финансового инструмента. Вероятностным аналогом этого уравнения является система дифференциально-разностных уравнений

d P_x(t) = – λ x P_x(t) + λ (x-1) P_x-1(t), x = 1, 2, ...

где P_x(t) = P{X(t) = x}.

Если предположить, что бычья активность на рынке не зависит от текущих курсовых уровней актива и интенсивность покупок напрямую не зависит от х, тогда a(x) = αx, b(x) = βx, где α и β являются постоянными коэффициентами, α>0.

Коэффициент β – это «смещение» в существующем ралли, и он больше или меньше 0 в зависимости от того, растет ли рынок или наблюдается краткосрочная его коррекция вниз.

Тогда плотность вероятности f(x, t) описывается уравнением диффузии

(1),

которое имеет решение в виде функции Бесселя первого порядка [4]. Причем начальная функция f(0, t) может задаваться произвольно. Решая численно уравнение диффузии (1), можно сразу после затухания марковского процесса ценообразования оценить конечную курсовую цель процесса – уровень бифуркации рынка, который характеризуется наличием нескольких равноправных продолжений эволюции. Если де-факто эта цель рынком не достигается или, напротив, превышена, то это может предвосхитить направление будущего тренда.

Возвращение памяти

Ранее [1] мы рассматривали элементарный марковский процесс ценообразования, или элементарную цепь Маркова, как «мгновенный» отклик рынка на внешнее воздействие (выход важной новости) с направлением движения цены актива по дифференциалу между вышедшей цифрой и ожидаемой. При этом память рынка теряется (short memory process). Интересен вопрос: а в какой момент к рынку возвращается память (long memory process), и как это происходит: скачком или постепенно?

Отбросив в сторону механизмы возвращения памяти к рынку, можно постулировать, что, вероятнее всего, память возвращается в конце процесса затухания марковской цепи. То есть когда исследуемая валютная пара отыграет вышедшие статданные (в сравнении с прогнозом) и начинаются торги на сравнении опубликованных данных с тем, что мы имели в предшествующий период времени (месяц или год назад). Т.к. краткосрочное внешнее воздействие уже частично отыграно рынком, то на авансцену выходит совокупное групповое сознание всех участников торгов как главная движущая сила будущей курсовой динамики.

Если вернуться к рассмотренным событиям 01.04.05 года ([1], выход данных по рынку труда США – см. рис. 1), то видно, что после затухания марковских процессов, примерно в 15-50 по Франкфуртскому времени, рынок начинает двухэтапное снижение. Почему рынок двинулся вниз, несмотря на то, что вышла «плохая» статистика по доллару США?

Во-первых, численные расчеты диффузионного уравнения (1) дали ближайшие цели марковской цепи на уровне 1.3065, чего, как видно из рисунка 1, рынок не достиг. В действительности это означает, что маркетмейкеры, поднимая котировки по евро/доллару на слабых данных по NFP США, уже на уровнях 1.3025/1.3035 наткнулись на большое количество ордеров на продажу евро. Пробуксовка роста рынка на уровне 1.3025 наглядно показала рынку, куда направлено групповое сознание краткосрочных игроков – вниз.

На рисунке 2 показан рынок EUR/USD 240 минут. Видно, что тенденция рынка – круто вниз, при этом выход данных по NFP США от 01.04.05 г. рассматривается рынком как завершение небольшой коррекции вверх. Причем, как видно из рисунка, цене не удалось пробить верхнюю границу корректирующего коридора, после чего пошло движение вниз. То есть и групповое сознание основной группы позиционных игроков также направлено вниз.

Поэтому неудивительно, что постмарковский процесс ценообразования здесь стал развиваться в медвежьем направлении.

Если вернуться к рисунку 1, видно, что первый этап long memory process динамики рынка завершился на уровне 1.2960 – там же, где начался марковский процесс более 1 часа назад. Впоследствии рынок «застрял» на этом уровне более чем на 45 минут. В этот период многие трейдеры зафиксировали прибыли и стали ждать дальнейшего развития событий.

На данном интервале времени рынок евро/доллар стал тонким и хаотичным. Его неустойчивость к ценовым флуктуациям могла породить промежуточный тренд любого направления. В такой сложной ситуации диагностику настроения рынка необходимо делать на широком спектре сегментов финансовых рынков. В рассматриваемом случае с началом роста курса доллара рынки металлов и нефти начали коррекцию вниз, что и отразилось на рынке FOREX в блоке товарных валют.

На рисунке 3 показан 2-минутный график курса USD/CAD. Видно, что постмарковский процесс характеризуется почти монотонным ростом американской валюты против канадского доллара, в т.ч. и в те минуты, когда рынок евро пребывал в неопределенности. Этот факт, вместе с групповым сознанием позиционных игроков на рынке евро, и породил второй этап падения рынка евро/доллар вниз к цели 1.2875.

Статистику развития постмарковских процессов после выхода экономического индикатора NFP США будем изучать на рынке доллар/швейцарский франк.

На рисунке 4 представлены данные за последние 10 лет скачков цены на рынке USD/CHF в развитии постмарковского процесса после выхода экономического индикатора NFP США для разных временных разверток, а также через 3 часа на часовой развертке. Видно, что в момент возврата памяти к рынку распределение частоты скачков от их величины далеко от гауссовского. И этот процесс может длиться гораздо дольше и быть интенсивнее, чем формирование марковских цепей. Только через 3 часа распределение становится похожим на ход гауссовской кривой. Визуализация в онлайн-режиме деформации этих статистических кривых по мере развития и затухания постмарковских процессов на нашем рынке позволяет измерить их длительность – на исследуемом рынке после выхода новости NFP США процесс затухает примерно через 2-4 часа.