В предыдущих номерах [1, 2] был предложен новый метод определения величины Value-at-Risk (VAR). Границы его применимости охватывают широкий класс финансовых инструментов. Данная статья дает ключ к практическому использованию нового подхода — метода «лямбда-лапласа».

Итак, примем за основу гипотезу о том, что плотность распределения f симметричной (модифицированной) доходности любого рыночного актива X = (V_t+T-V_t)/min(V_t,V_t+T), где V — стоимость актива, а T — временной горизонт расчета VAR, имеет распределение Лапласа (симметричное показательное распределение) f(X) = 1/2 λ e^-λ|X| .

Новый метод

Ранее [1, 2] было представлено несколько примеров на фондовом, валютном и товарном рынках, позволяющих сделать такое предположение. Данное распределение зависит от единственного параметра λ, поэтому метод вычисления меры рыночного риска VAR, основанный на данной гипотезе, по аналогии с «дельта-нормальным» методом логично назвать методом «лямбдалапласа».

Важно отметить, что по известному свойству данного распределения параметр λ обратно пропорционален среднеквадратичному отклонению σ распределения X, процедура вычисления которого не требует ни больших усилий, ни специальных навыков, т.к. содержится в любом, самом простом пакете программ статистической обработки информации. Из определения VAR можно легко получить формулу для его вычисления [1]: , (1) где α — доверительный уровень, обычно выбираемый в диапазоне 0.95-0.99, а V₀ — стоимость актива в начальный момент времени. Например, для α = 95% данная формула приобретает следующий вид: и вычисление VAR становится «делом техники».

Однако есть одна серьезная проблема, в т.ч. присущая и «дельта-нормальному» методу определения VAR: корректное определение статистической базы (или генеральной выборки) для расчета среднеквадратичного отклонения σ. Особенно эта проблема актуальна для больших временных горизонтов расчета VAR — фактически от одного дня и более.

Например, для расчета недельного VAR для формирования приемлемой репрезентативной генеральной выборки могут потребоваться исторические данные за период до нескольких десятков лет. При этом харак-тер динамики рынка за это время мог много раз кардинально меняться, что проявляется в известном эффекте кластеризации поведения волатильности рыночных активов. Поэтому приходится сталкиваться с неприятным выбором: или сужать генеральную выборку, как шагреневую кожу, или использовать для прогноза заведомо устаревшие исторические данные. Любой из этих вариантов чреват серьезной потерей точности прогноза VAR.

Выход из этой ситуации лежит в фундаментальной природе изменчивости рыночных цен — статистические закономерности их движения на более продолжительных горизонтах времени (часы, дни и недели) с высокой точностью определяются статистикой малых интервалов времени (минуты).

Для подтверждения этого рассмотрим поведение распределений симметричной (модифицированной) доходности X обыкновенных акций РАО «ЕЭС России» для различных временных горизонтов Т.

На рисунке 1 представлены плотности распределения и их параметризации методом «лямбда-лапласа» для временных горизонтов 5, 15 и 60 минут. Видно, что с увеличением горизонта плотность распределения все более расширяется. Т.е. параметр λ уменьшается, а среднеквадратичное отклонение увеличивается, при этом каждое из распределений с очень высокой степенью точности можно считать распределением Лапласа с λ(5) = 9.6; λ(15) = 6.0 и λ(60) = 2.9. То есть характер распределения остается неизменным, меняется только параметр λ, который, вообще говоря, в этом случае должен быть функцией временного горизонта T.

Чтобы определить эту функцию, для каждого временного горизонта Т из диапазона от 5 минут до 2 часов с шагом 5 минут был построен график плотности распределения симметричной доходности Х и определен параметр λ. На рисунке 2 красным цветом показан график зависимости полученных значений λ от Т, а синим — график следующей

функции (λ₁ = 22.5):(2)

Таким образом, с использованием формулы (2) процедура вычисления VAR существенно упрощается. Определив параметр λ₁ на малых горизонтах времени, статистическая база которых достаточна для корректной оценки, мы автоматически получаем возможность вычислить VAR для больших горизонтов времени из формул (1) и (2):(3)

Для α = 95% и нашего примера получаем следующую приближенную функцию VAR(Т) (при этом необходимо учесть, что поскольку величина X в наших вычислениях измерялась в процентах, то при подстановке в вышеуказанную формулу с уменьшением Х параметр λ должен быть обратно пропорционально увеличен в 100 раз):

Анализируя формулы (1) и (3), из общих соображений можно легко оценить границу применимости метода: , (4) что для выбранного нами примера с акциями РАО ЕЭС дает временной горизонт порядка двух недель. За его пределами применение метода «лямбда-лапласа» вместе с гипотезой (2) (для обыкновенных акций РАО «ЕЭС России») может оказаться некорректным. Тем не менее, можно уверенно сказать, что как минимум на временных горизонтах в несколько дней описанный метод в данном конкретном случае будет давать достаточно точный прогноз VAR.

Таким образом, вышеизложенные факты делают очень перспективным использование метода «лямбдалапласа» в рамках соблюдения условия (4) при расчетах VAR, поскольку это позволяет совместить простоту вычислений с высокой точностью прогноза, значительно увеличить скорость расчета и снизить операционные издержки на дорогое программное обеспечение.