Минувший год еще раз показал, что стратегия «купил и держи» на валютном рынке не срабатывает. Поэтому инвестору необходимо иметь ориентиры, прогнозирующие динамику изменения валютных курсов. Важную роль при этом играют статистические модели, на основе которых можно сделать адекватный прогноз.

Стратегия «купил и держи» позволила существенно обогнать инфляцию лишь в 1998 г. (табл. 1), когда случился колоссальный обвал рубля. Даже в начале 90—х годов, когда годовая доходность валютных операций была очень высока, она все же не превышала индекса потребительских цен. Тем более эта истина верна по отношению к современному российскому рынку.

Таблица 1 Доходность по операциям с ведущими валютами

Источник: ЦБ РФ

Все это заставляет инвесторов искать новые стратегии, в основе которых лежит умение зарабатывать на краткосрочных колебаниях курсов валют. Так, в целом за весь 2005 г. курс доллара повысился на 3.8%, а евро — понизился на 9.7%. Но только в декабре минувшего года инвестор имел шанс заработать (если бы сумел снайперски точно рассчитать время покупки и продажи) на краткосрочных колебаниях курсов гораздо больше.

Например, по европейской и американской валюте потенциальный прирост доходности мог бы составить до 2.12% и 1.77% (без учета трансакционных издержек). В пересчете на год это составило бы доходность 28.56% и 23.48% соответственно, что гораздо выше прошлогодней инфляции (их реальная стоимость в рублевом эквиваленте равнялась 15.82% и 11.24%). А между тем, в декабре 2005 г. евро вырос лишь на 0.72%, а доллар — на 0.01%.

Но легкость, с которой опытные рыночные игроки зарабатывают на краткосрочных операциях, только кажущаяся. Без элементарного везения, конечно же, в этом деле не обойтись, но помимо этого инвестору нужно иметь еще и представление о текущем рыночном тренде. Нужно уметь прогнозировать изменения валютных курсов как в ближайшей, так и в долгосрочной перспективе.

Разработка статистической модели по прогнозу курса доллара

Поскольку главную роль в колебаниях мирового валютного рынка играет пара доллар/евро, то в качестве независимой переменной Х мы решили взять значение курса рубль/евро, а зависимой переменной У — курс рубль/доллар.

На основе статистической базы данных о курсах этих двух валют за 2005 г. нам удалось с помощью статистического метода наименьших квадратов решить уравнение регрессии. В общем виде у нас получилось уравнение линейной регУ=А*Х, где А — коэффициент регрессии между обоими переменными.

Несмотря на то, что коэффициент детерминации для данного уравнения оказался выше 0.99 (т.е. должен был объяснять более 99% всех колебаний), проверка показала, что в отклонениях от построенного на основе этой формулы графика (факт минус прогноз) содержится сильная неучтенная тенденция. Это очень хорошо видно на рисунке 1, где построены параболические и линейные тренды по отклонениям от прогноза.

Примечания к рисунку 1:

• график строился следующим образом: сначала по формуле У=А*Х рассчитывался прогноз по курсу рубль/доллар, который затем вычитался из его фактического значения;
• на основе полученных отклонений построены линейные и параболические тренды, в которых переменная х означает порядковый номер торгового дня;
• формула линейного тренда означает, что в прошлом году курс доллара (отклоняясь от колебаний в зависимости от курса евро по формуле У=А*Х) ежедневно рос со средней скоростью в 1.54 копейки в день (минус 1.436 рубля — исходный уровень), а согласно параболическому тренду ежедневный рост равнялся 3 копейкам в день (с замедлением в 0.016 копейки в день — вторая производная от 0.00008х2 — минус исходный уровень 1.915 рубля);
• коэффициенты детерминации R2 параболического и линейного трендов равны 0.933 и 0.877, что считается высоким показателем.

Формула регрессии может дать адекватные прогнозы только при выполнении следующего важного условия: если данные, полученные в результате отклонения расчетных значений от фактических, носят случайный характер. Этого не наблюдается, потому статистическую модель необходимо изменить таким образом, чтобы она отражала неучтенный тренд.

В научной литературе разработаны три основных способа, предназначенных для решения этой проблемы: метод отклонений от тренда, метод последовательных разностей и метод включения в модель регрессии фактора времени. Мы решили применить метод отклонений: сначала по формуле регрессии У=А*Х находим расчетное значение курса рубль/доллар, после чего делаем поправку на тренд в отклонениях. Величина поправки вычисляется по формуле либо линейного, либо параболического тренда (мы использовали в своих расчетах оба варианта), а затем вносится в прогноз путем ее суммирования с расчетным значением.

Для составления адекватного прогноза нам необходимо выбрать такой период времени, который позволяет на основе значения опережающего индикатора (в данном случае это курс рубль/евро) наиболее точно предсказывать курс доллара по отношению к российской валюте. С этой целью мы составляли уравнения регрессии, последовательно сдвигая временные ряды статистических данных по курсу валют от 0 до 100 торговых дней. Главной задачей являлось определение такого лага, при котором коэффициент детерминации будет наиболее высоким. Чем выше этот коэффициент, тем более эффективной является построенная на основе этой формулы прогностическая модель. Полученные результаты представлены на рисунке 2.

Примечания к рисунку 2:

• для того чтобы не нарушать чистоты эксперимента (прогностическая модель должна строиться на основе одних статистических данных, а проверяться на других), поиск оптимальной величины лага мы вели по статистическим данным, охватывающим период с 1 января по 6 октября 2005 г.;
• коэффициент детерминации в данном случае выражен в процентах (максимальный R2=1, или 100%).

Как видно из рисунка 2, коэффициент детерминации сначала (на отрезке от 0 до 5 торговых дней) весьма незначительно снижается, а затем устойчиво растет, достигая максимума при лаге в 60 дней. Далее он стремительно падает, что свидетельствует о том, что более длительные лаги непригодны для адекватного прогнозирования. Таким образом, оптимальным лагом для целей нашего исследования следует признать временной период длительностью в 60 торговых дней.

Во всех случаях коэффициент детерминации у параболического тренда оказался чуть выше, чем у линейного, хотя разница между ними при оптимальном лаге совсем незначительная — всего лишь 0.3 процентного пункта.

Разработка прогностической модели

Приступим к разработке нашей прогностической модели на основе данных по курсам валют, охватывающих период с 11 января по 6 октября 2005 г. При этом с учетом лага в 60 торговых дней прогноз курса доллара на 7 апреля мы будем рассчитывать на основе фактического курса евро, зафиксированного 11 января. В результате на основе этих рядов данных мы получили уравнение регрессии У=0.791*Х.

Интерпретировать eго можно следующим образом: рост курса евро на 1 рубль через 60 торговых дней приводил в среднем к повышению курса доллара на 79.1 копейки. В случае падения евро курс доллара в среднем снижался на ту же цифру. Очевидно, именно столько времени в среднем требовалось рынку для ответной реакции на укрепление евро. Следует заметить, что наряду с некоторой цикличностью в асинхронном колебании валют наблюдается еще и тренд, который учтен нами с помощью метода отклонений.

Чтобы оценить, насколько эффективны параметры этого уравнения регрессии, нам необходимо проверить, нет ли автокорреляции в отклонениях прогнозных значений от фактических. Термин автокорреляция предполагает, что каждый последующий уровень отклонения зависит от предыдущего. Если мы не будем учитывать это в своих расчетах, у нас получится уравнение регрессии со смещенными параметрами.

Соответствующие вычисления показали, что коэффициент автокорреляции R для отклонений, полученных на основе уравнения регрессии У=0.791*Х, оказался очень высоким, равным 0.988 (максимальное значение этого параметра равно 1). Поэтому для оценки параметров уравнения регрессии мы вынуждены скорректировать статистические ряды данных по формуле:Х посл. корр.= Х посл. — R * Х пред., где Х пред. и Х посл. — предыдущее и последующее значения курса евро;

Х посл. корр. — последующее значение курса евро после его корректировки на автокорреляцию;

R — значение коэффициента автокорреляции.

Аналогичную формулу применим и по отношению к У — к зависимой переменной, обозначающей курс доллара. После чего на основе скорректированных рядов данных вновь проведем регрессионный анализ. В результате у нас получится уравнение регрессии, скорректированное с учетом автокорреляции: У=0.754*Х. Его интерпретировать можно следующим образом: рост (или падение) курса евро на 1 рубль через 60 торговых дней в 2005 г. приводил в среднем к укреплению (или соответственно к снижению) курса доллара на 75.4 копейки.

При этом коэффициент детерминации для скорректированного уравнения оказался равен 87.6%, тогда как аналогичный показатель для предыдущего уравнения регрессии был гораздо выше — 99.9%. Очевидно, что устранение автокорреляции привело к понижению коэффициента детерминации на 12.3%.

Проверка прогноза на точность

Теперь построим нашу прогностическую модель на основе данных по курсу доллара в период с 7 апреля по 6 октября 2005 г. Действуем при этом следующим образом. Исходя из того, что курс евро, например, 11 января 2005 г. был равен 37.8409 рубля, ставим это значение вместо Х в уравнение регрессии У=А*Х (где коэффициент регрессии А для обычного уравнения у нас равен 0.791, а для скорректированного на автокорреляцию — 0.754). Полученный результат суммируем (делаем поправку на отклонения) со значением, которое мы находим по уравнению либо линейного, либо параболического тренда, вставляя в него вместо х порядковый номер торгового дня, который в данном случае равен 1.

Затем проверим, насколько адекватными окажутся прогнозы, сделанные по этой модели в тестовый период с 7 октября по 30 декабря прошлого года (табл. 2).

Таблица 2 Точность прогноза по обычному и скорректированному (с учетом автокорреляции) уравнению регрессии

Источник: Расчеты автора

Примечания: Отклонения прогноза от фактического курса доллара даны в рублях по модулю, поскольку при вычитании первого и второго могут получаться как положительные, так и отрицательные значения; процент погрешности равен сумме отклонений/сумму фактических значений курса доллара за данный период*100%.

Из таблицы 2 можно сделать вывод: если в период разработки модели наиболее адекватно существующую тенденцию отражал линейный тренд, то в тестовый период лучший результат удалось получить с помощью параболического тренда, по которому среднее ежедневное отклонение оказалось равно 45.8 копейки (по модулю). Во всех случаях прогноз по скорректированному (с учетом автокорреляции) уравнению регрессии оказался выше, причем в тестовый период эта разница увеличилась. Вполне естественно, что в тестовый период отклонения прогноза от фактических данных возросли, т.к. модель построена на основе статистики предыдущего периода.

Читателям будет интересно узнать, каким конкретно получился прогноз, сделанный на основе оказавшегося наиболее эффективным скорректированного (с учетом автокорреляции) уравнения регрессии в тестовый период (табл. 3, рис. 3).

Таблица 3 Прогноз курса доллара на основе курса евро с 07.10 по 30.12. 2005 г.

Как видно из рисунка 3, прогнозы, построенные на основе параболического и линейного трендов, в тестовый период несколько завышали курс доллара, о чем свидетельствуют отрицательные значения отклонений (факт минус прогноз). Это следствие того, что в последние 60 торговых дней на валютном рынке появились новые тенденции, не учтенные прогностической моделью, разработанной на основе предыдущего периода. Чтобы эта модель оставалась рабочей, в нее периодически нужно вносить поправки с учетом последних статистических данных.