Математика спекуляции

Математики уже давно и внимательно присматриваются к биржевым рынкам. Выдающийся швейцарский математик Якоб Бернулли еще 350 лет назад сформулировал знаменитую одноименную схему испытаний, которая легла в основу современной теории опционов. Французский математик Луи Баше-лье в 1900 году написал замечательную книгу «Теория спекуляций». Ба-шелье опередил Эйнштейна на целых 5 лет и задал основное направление развитию теории финансов на следующее столетие.

А вот нужна ли математика российским биржевикам? В своей замечательной книге «Как играть и выигрывать на бирже» Александр Эл-дер дает яркое и образное описание важности математической грамотности для американского биржевика-практика. О неразрывной связи эмоций и расчета, необходимых для практического успеха на биржевом рынке, Элдер пишет так: «Проигрывающие биржевики судорожно ищут «верное дело», лелеют надежды и отказываются реализовать малые потери. Их игра основана на эмоциях. Они не знают азов вероятности. Они не понимают роли шанса и случайности в жизни и очень суеверны на этот счет.

Математическая неграмотность -незнание понятий вероятности, шанса и случайности - гибельный изъян для биржевика. А между тем понятия эти просты, и прочитать о них можно во многих учебниках. Человек с подобными понятиями о вероятности - верный кандидат в биржевые банкроты. Стать математически грамотным биржевым игроком -дело ваших рук, точнее, головы».

По словам крупных российских спекулянтов, это высказывание относится не только к американскому спекулянту, но и в равной степени справедливо для любого отечественного участника биржевого рынка.

Все биржевики говорят о вероятности роста цен биржевого инструмента, но все ли понимают под этими словами одно и тоже? Как характеризовать подвижность и изменчивость биржевых цен? Как сравнить риски различных биржевых операций и вычислить «справедливую» цену биржевых деривати-вов базисных активов? Все слышали об экспоненциальных средних, во-латильностях и формуле Блэка-Шо-улса. Но всякий ли российский спекулянт способен рассчитать по биржевым данным цену кол- и пут-опционов без грубых ошибок?

Многие математические понятия стали фундаментальными для современных биржевых рынков, а результаты математических расчетов сильно влияют на поведение биржевиков на рынке. Математика сегодня - это универсальный язык всех мировых биржевых рынков. Поэтому биржевикам-практикам необходимо понимать смысл важнейших математических понятий и уметь быстро и правильно рассчитывать основные характеристики биржевых рынков. Математические ошибки стоят очень дорого на биржевых рынках и должны быть совершенно исключены из биржевой практики.

Служит ли математика залогом практического успеха биржевика? Да, но только в органичном соединении с практическим опытом и интуицией спекулянта. Сама по себе математика - не волшебная палочка, это только инструмент, который может как спасти, так и погубить спекулянта.

Можно ли представить себе сегодня успешного банкира-практика, неспособного подсчитать простые и сложные проценты? Любой биржевик в этом случае вряд ли согласится открыть счет, пользуясь услугами безграмотного банкира. Поэтому математическая грамотность и дополнительные знания создают конкурентные преимущества, которые так нужны современным валютным и фондовым спекулянтам.

Почему же российские спекулянты с таким трудом осваивают современное искусство математического моделирования биржевых рынков и поведения инвесторов? Ответ чрезвычайно прост. Учеба требует сил, учебных материалов и свободного времени, которых всегда не хватает настоящему спекулянту.

Нужно ли российскому спекулянту ликвидировать свою математическую безграмотность? Ответ один: безусловно, да! Журнал «Валютный спекулянт» начинает публикацию учебных материалов, предназначенных для российских спекулянтов, которые окончили школы без углубленного изучения математики.

Практический пример инвестиционного решения

Врезультате успешной хозяйственной деятельности Владимир Кузьмин накопил небольшую свободную сумму наличных. Эти деньги понадобятся ему только через год для покупки нового автомобиля. Теперь Владимир ломает голову над тем, куда инвестировать свободные деньги на срок 12 месяцев. Кузьмину надо принять грамотное инвестиционное решение: определить возможные инвестиционные альтернативы и выбрать приемлемый вид инвестирования. Самый простой способ - перевести деньги в доллары и хранить их в чулке. Однако Владимир изучал теорию временной стоимости денег и помнит, что доллар сегодня всегда стоит дороже, чем доллар завтра. Кроме того, он ясно понимает, что в этом случае инфляция также уменьшит его богатство. Поэтому «чулочный» метод хранения денег Кузьмин сразу же отвергает.

Кузьмин имеет возможность стать участником трех рынков -рынка капитала, фондового рынка и рынка опционов.

Владимир может открыть срочный счет в банке, который гарантирует 10% годовых. С учетом ожидаемого уровня инфляции это совсем немного. Однако никакие экономические или политические события в стране и в мире не могут изменить процентную ставку банка. Пользуясь услугами банка, Кузьмин при любом развитии событий получит свои 10% годовых. Поэтому 10% -это безрисковая процентная ставка на рынке капитала.

Кузьмин много раз слышал от знакомых, что благодаря спекуляциям на фондовом рынке можно легко получить значительно больше прибыли. Внимательное изучение журнала «Валютный спекулянт» привлекло внимание Владимира к акциям компании АБВ. Чтение популярной литературы по биржевому рынку позволило быстро понять Кузьмину, что цена акции АБВ через год будет определяться потоками заявок на покупку и на продажу. Если через год спрос на акции вырастет, то цена акции увеличится. Если же спустя 12 месяцев предложение превысит спрос, то цена акции упадет. Проведенный анализ показал возможность реализации двух сценариев развития фондового рынка. Компания быстро растет и не выплачивает дивидендов по своим акциям. Поэтому возможный доход владельца акции за год связан только с изменением ее цены. В благоприятном случае цена акции через год может увеличиться на 25%. Если дела компании АБВ пойдут плохо, то стоимость акции упадет на 20%. Цена акции сегодня равна 22 USD. Через год она может вырасти до 27.5 USD или упасть до 17.6 USD. Графически ситуация показана на рис. 1.

Рис. 1. Цена акции АБВ

Модель расчета цены опциона, которая рассматривает только две возможности поведения базисного актива, получила название BOPM (Binomial Option Pricing Model). Практики называют этот метод расчета просто биномиальным.

Какой исход из двух возможных будет иметь место через год, Владимир не знает. Неопределенность исхода определяет риск инвестирования на биржевых рынках. Возможность большого выигрыша компенсируется возможностью значительных потерь. Именно возможность получения высокой прибыли привлекает на биржевые рынки спекулянтов. Спекулянты играют важную роль на биржевых рынках. Они принимают на себя рыночные риски и обеспечивают высокую ликвидность рынков. Журавль в небе более привлекателен для спекулянта, чем синица в руке. Существует универсальное правило: высокая прибыль связана с повышенным риском. Другими словами, дополнительную прибыль следует рассматривать как плату за принятие риска.

Как хеджировать риски опционами

Существование рынка опционов дает возможность Кузьмину управлять рисками или неопределенностью инвестиционных операций на рынке базисного актива. Предположим, что Кузьмин сегодня продает кол-опцион на акцию АБВ с ценой исполнения 22.55 USD через год. Тем самым Кузьмин берет на себя обязательство продать акцию АБВ через год по цене 22.55 USD. Если цена акции вырастет до 27.5 USD, то покупатель кол-опциона потребует его исполнения. Кузьмину придется купить акцию по рыночной цене 27.5 USD и тотчас же продать покупателю кол-опциона по цене исполнения 22.55 USD. Тем самым расходы нашего героя составят 27.5 - 22.55 = 4.95 USD. Если же цены на акции упадут, то покупатель кол-опциона откажется от своего права на исполнение опциона. В этом случае расходы Кузьмина на закрытие короткой позиции по кол-опциону будут равны нулю.

Кузьмин слышал, что одновременное открытие длинной позиции по базисному активу и открытие короткой позиции по кол-опциону называется хеджированием, и этот биржевой прием может полностью компенсировать биржевой риск портфеля. Чтобы упростить задачу управления риском, Кузьмин предполагает, что он продал 1 кол-опцион и купил h акций АБВ. Каким образом нужно определить коэффициент хеджирования h, чтобы через 12 месяцев стоимость портфеля Кузьмина не изменилась?

Стоимость портфеля П, состоящего из длинной позиции по h акциям АБВ и короткой позиции по 1 кол-опциону на акцию АБВ, определяется по формуле П = h-Stock-Call

Вычислим стоимости портфеля через год в случаях роста и падения цены акции (см. таблицу).

Условия постоянства цены портфеля определяют величину коэффициента хеджирования

27.5-h - 4.95 = 17.6-h

(27.5 - 17.6)-h = 4.95

h = 4.95/9.9 = 0.5

При коэффициенте хеджирования портфеля, равном 0.5, стоимость портфеля остается постоянной, и риск неблагоприятного движения цены исчезает.

Полученный Кузьминым ответ прост, как и его биржевой портфель. Если Кузьмин на каждую купленную акцию продаст 2 кол-опциона, то он полностью хеджирует рыночные риски.

Портфель Кузьмина содержит длинную позицию по 1/2 акции и короткую позицию по 1 кол-опциону. Стоимость портфеля Кузьмина через год составит:

П=27.5-0.5-4.95=17.6-0.5=8 USD.

Как рассчитать справедливую текущую цену кол-опциона

После того как Кузьмин рассчитал стоимость портфеля спустя 12 месяцев, возникает важный вопрос о нынешней стоимости полностью хеджированного портфеля. На этот вопрос легко ответить, зная величину временного дисконтирования капитала, которая прямо пропорциональна риску хозяйственных операций. Хеджированный портфель имеет нулевой риск, и поэтому необходимо использовать безрисковую процентную ставку на рынке капитала. Учитывая, что Кузьмин может открыть безрисковый счет с 10% годовых, находим текущую стоимость портфеля:

Рис. 2. Цена хеджированного портфеля 1 короткий колл-опцион и 1/2 длинная акция АБВ

Рост цены хеджированного портфеля показан на рис. 2. Обратите внимание, что увеличение цены портфеля не зависит от роста или падения цены базисного актива - акции АБВ. Приращение стоимости портфеля в точности равно величине безрисковой процентной ставки 10% годовых.

Полученный результат показывает, что на рынке при снижении риска автоматически снижается прибыль. Теперь хеджированный портфель дает ту же прибыль, что и счет в банке - 10% годовых.

Теперь Кузьмин может определить справедливую цену или премию кол-опциона на биржевом рынке, исходя из известной стоимости хеджированного портфеля.

Call = h-Stock-PV (П)

Формула имеет простой смысл: «справедливая» премия по кол-опциону равна текущей стоимости акции, умноженной на коэффициент хеджирования минус текущая стоимость полностью хеджированного портфеля с одним коротким кол-опционом. Теперь мы легко найдем «справедливую» цену, по которой Кузьмин будет готов продать 1 кол-опцион:

Call = h-Stock-PV (П) = 0.5-2

Графически ситуация ценообразования кол-опционов показана на рис. 3.

Рис. 3. Цена кол-опциона на акцию АБВ по цене исполнения 22.55 USD

Обратите внимание, что в случае роста цены акции на 25%, цена кол-опциона увеличивается на (4.95 -3.00)/3.00 = 65%. При падении цены акции на 20% цена кол-опциона падает на (0.00 - 3.00)/3.00 = 100%. Таким образом, небольшое изменение цены базисного актива приводит к значительному изменению цены опциона. Отсюда следует важное свойство опционов - их высокий риск по сравнению с риском базисного актива. Именно это и привлекает к торговле опционами большинство валютных спекулянтов.

Что произойдет, если Кузьмин или другие биржевики начнут продавать кол-опционы с ценой исполнения 22.55 USD за премию в 2 USD?

На рынке тотчас же возникнет возможность арбитража или финансового вечного двигателя. Наличие арбитража дает возможность участникам рынка получать неограниченную прибыль безо всякого риска. Современная экономическая теория исходит из предположения о невозможности арбитражных операций на рынке. Однако хорошо известный валютный спекулянт Джордж Сорос постоянно утверждает противное теории. На биржевом рынке, по мнению Сороса, периодически возникают возможности краткосрочного арбитража, которыми пользуются хорошо информированные трейдеры.

Рассмотрим случай, когда цена кол-опционов на акцию АБВ снизилась до 2 USD. Тогда биржевик-ар-битражер продает без покрытия 1/2 акции АБВ за 11 USD и покупает 1 кол-опцион за премию 2 USD. Это полностью хеджированный безрисковый портфель. В результате открытия портфельных позиций он выручает 11 - 2 = 9 USD, которые он сейчас же вкладывает на 10% счет в банке под 10% годовых. Спустя год арбитражер снимает с банковского счета 9.9 USD и закрывает свои портфельные позиции, выплачивая стоимость портфеля 8.8 USD. В результате арбитражной операции наш биржевик получает чистых 1.1 USD прямо из воздуха безо всякого дополнительного риска. Спрос на кол-опционы по цене 2 USD из-за возникновения арбитражных возможностей резко возрастет, что в свою очередь приведет к росту цены на кол-опционы до 3 USD на биржевом рынке.

В случае продажи кол-опциона по цене 4 USD также возникает возможность арбитража. Биржевик-ар-битражер берет 7 USD в кредит на год под 10% годовых и покупает хеджированный портфель из длинной позиции по 1/2 акции и короткой позиции по кол-опциону. Через год стоимость портфеля увеличивается до 8.8 USD, и арбитражер закрывает все позиции портфеля, получает и возвращает кредит в размере 7.7 USD. В результате арбитража наш биржевик получит опять 1.1 USD, не подвергая себя никакому риску. Поэтому предложение кол-опционов превысит спрос на биржевом рынке, и премия кол-опциона обязательно упадет до вычисленного нами равновесного значения 3 USD.

Сухой математический остаток биномиальной модели

Текущая стоимость акции равна Stock. Заданы коэффициенты роста u и падения d стоимости акции за период времени T.

Спустя период времени T цена акции возрастет или упадет до величины

где индексы роста и падения цены обозначены через up и down соответственно.

Кол-опцион по цене исполнения X на момент T будет иметь внутреннюю стоимость

Коэффициент хеджирования равен

Стоимость хеджированного портфеля на момент равна

Приведенная стоимость хеджированного портфеля в случае безрисковой процентной ставки R равна

Справедливая премия (цена) кол-опциона европейского типа по акции без выплаты дивидендов в настоящий момент времени равна

Call = h-Stock-PV(П)

Замечание.

Возможен переход к многопери-одной биномиальной модели. Мно-гопериодная модель была предложена Коксом, Россом и Рубинштейном и получила название модели CRR. Исходный период времени T разбивается на n равных периодов T/n. Для каждого малого периода T/n следует использовать ту же формулу, но только с коррекцией коэффициентов роста u_T/nи падения d_T/n цен, которые вычисляются по уравнениям:

Для годового интервала в рассмотренном примере коэффициент роста цены равен 1.25. Если мы разобьем годовой интервал на 12 месячных, то коэффициент роста цены за месяц будет равен

Аналогично рассчитывается значение коэффициента падения цены за месяц.

Дополнительная литература по опционам

Вот и подошло к концу наше первое краткое знакомство с биномиальной моделью ценообразования опционов. Конечно, изложить сжато и доступно все вопросы теории ценообразования в небольшой популярной статье очень сложно. Автор надеется, что наш первый короткий разговор послужит стартом для самостоятельной работы читателя-практика. Для дальнейшего серьезного чтения рекомендую заглянуть в следующие прекрасные книги:

Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. Неоклассические основы теории финансов / Пер с нем. Под общей редакцией В.В. Ковалева и З.А. Сабова - СПб: Издательство «Питер», 2000. - 400 с.: илл. -(Серия «Базовый курс»)

Глава 9 этой книги полностью посвящена простому, но строгому и полному описанию биномиальной модели ценообразования опционов. Лучший источник по BOPM на русском языке. См. страницы 245-274

Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции: Пер. с англ. -М., ИНФРА-М, 1998. - 1028 с.

Очень толстый фундаментальный учебник, охватывающий все аспекты биржевых рынков. Настоящая финансовая энциклопедия. Глава 20 посвящена теории опционов. Биномиальная модель изложена в разделе 20.6. См. страницы 651-657.

Если у читателей возникнут вопросы, замечания или предложения по представленным материалам, то их можно направить непосредственно автору по адресу электронной почты: ilyinsky@fa.ru Щ А. Ильинский

Программа VBA для Excel расчета цены Европейского опциона CaNBinom

'CallBinom Программа VBA для Excel

'Функция вычисления стоимости европейского кол-опциона по биномиальной модели 'StockPrice — текущая цена актива 'StrikePrice - цена исполнения кол-опциона 'UpPrice - коэффициент роста цены акции за период Т 'DownPrice - коэффициент падения цены акции за период Т

'InterestRateFree - годовая безрисковая процентная ставка

Function CallBinom(StockPrice, StrikePrice, UpPrice, DownPrice, InterestRateFree) Dim StockUp As Single Dim StockDown As Single

Dim CallUp As Single

Dim CallDown As Single Dim hedge As Single Dim Portfolio As Single Dim PVPortfolio As Single

'Цена акции через период в случае роста StockUp = StockPrice * UpPrice 'Цена акции через период в случае падения StockDown = StockPrice * DownPrice

'Application.WorksheetFunction.Max — аналог функции МАКС рабочего листа

'Цена кол-опциона через период в случае роста цены акции

CallUp = Application.WorksheetFunction.Max(StockUp -StrikePrice, 0)

'Цена кол-опциона через период в случае падения цены акции

CallDown = Application.WorksheetFunction.

Max(StockDown - StrikePrice, 0)

'Величина коэффициента хеджирования

hedge = (CallUp - CallDown) / (StockUp - StockDown)

'Цена хеджированного портфеля через период

Portfolio = hedge * StockUp - CallUp

'Вычисление приведенной стоимости безрискового портфеля из 'h длинных позиций по базисному активу и одной короткой позиции по кол-опциону PVPortfolio = Portfolio / (1 + InterestRateFree) 'Справедливая цена европейского кол-опциона сегодня

CallBinom = hedge * StockPrice - PVPortfolio

End Function