Интерес к фракталам, возникший у многих трейдеров под впечатлением недавно изданных книг Билла Вильямса, вполне понятен. Новая концепция, обещающая за скромную сумму подарить Святой Грааль рынка, по словам создателя, аккумулировала последние достижения в науке и торговле. В журнале «Валютный спекулянт» были опубликованы статьи М. Чекулаева «Магия фракталов, или Насколько прав Билл Уильямс» [1]. В них автор описывает торговую тактику Билла Вильямса [2]. Насколько позиция автора статей имеет отношение к изучению хаотического поведения рынка и его фрактальной структуры, насколько статьи являются новым словом в методах биржевой торговли, – на этом и хотелось бы остановиться.

Диапазоны теории сложных систем

Впоследние годы методы, развитые физиками для описания сложных систем, вышли за границы только физики и успешно применяются в других областях: биологии, медицине, экологии, социологии и, конечно же, экономике. На стыке физики и экономики появилась даже новая наука – эконофизика.

Один из разделов теории сложных систем – фрактальный анализ – находит самые неожиданные области применения. Исследуются фрактальные структуры текстов и гипертекстов, музыкальных произведений, биржевых котировок, паттернов динамики процессов мозга, аттракторов восприятия, коммуникационных структур в социальных системах, динамических процессов в глобальных информационных сетях.

Наряду с научными подходами, время от времени возникают и совершенно некорректные попытки применения этого метода. Кроме «количественных» фрактальных спекуляций периодически появляются качественные, в которых под термином фрактал мыслится какая-то метафора, образ формы как сложной структурной организации системы, делаются попытки прописать «фрактальный ландшафт философского дискурса» [3].

В поисках тайного шифра рынка

Когда я увидела статью Михаила Чекулаева «Магия фракталов» в очередном номере «Валютного спекулянта», первая мысль была: «Вот и среди российских трейдеров появились популяризаторы идеи фрактального анализа!». И было очень интересно, как эти идеи используются в торговле? Каково же было мое недоумение, когда оказалось, что понятия фрактала, фрактального анализа и хаоса сильно искажены, а попытка применения этих понятий к трейдингу М. Чекулаевым, мягко говоря, некорректна. Складывается впечатление, что автор статьи не знаком с серьезной литературой, написанной физиками и математиками, потратившими многие годы на изучение хаоса, турбулентности, сложных динамических систем, процессов самоорганизации, а ограничился трактовкой психолога Билла Вильямса, который использовал эти понятия, скорее, как рекламный прием.

На самом деле фракталы – это интересная, развивающаяся концепция, здесь нельзя жонглировать научными терминами, не только плохо понимая основные положения, но местами совершенно перевирая их.

У трейдеров, не знакомых с научными понятиями хаоса и фракталов, после прочтения статьи М. Чекулаева может возникнуть впечатление, что торговая тактика, предложенная Б. Вильямсом, является вершиной достижений фрактального анализа и науки о хаосе. Придется их разочаровать. Эта торговая тактика, во-первых, не имеет никакого отношения к изучению хаотического поведения рынка и его фрактальной структуры, а во-вторых, не является новым словом в методах биржевой торговли. Некомпетентность автора статьи в научной области, о которой он пытается рассуждать, очевидна. Автор хочет нагнать загадочности и придать налет тайны псевдонаучным фантазиям, приправленным учеными словечками, типа «квант-джокер», «спектр фрактала», «рекурсивная модель» и пр., а также красивыми картинками, имеющими очень отдаленное отношение к предлагаемым торговым сигналам.

Фрактальный анализ возник не для трейдинга, а для описания сложных природных форм во всей их красоте и многообразии. Предпринимаемые многими трейдерами попытки найти в сложном поведении рынка некоторые простые модели – тайный шифр рынка, не увеличивают их счет, а лишь искажают представление о рынках и понимание того, что на них происходит.

Если опираться на теорию хаоса, то необходимо признать, что жизнь не только сложна и богата возможностями, но и что между этими возможностями имеются очень тонкие и подчас неожиданные связи. Не существует, в частности, краткосрочных паттернов и повторяющихся краткосрочных циклов, которые были бы значимы для прогноза. Паттерны цен и индикаторов, которые трейдеры используют для торговли, с легкостью могут быть обнаружены в любом наборе случайных цифр. Но все же лучше знать правду («предупрежден – значит, вооружен»), чем руководствоваться фантасмагорией, приправленной научными терминами.

Способность воспринимать реальность таковой, какой она является на самом деле, – наиболее важное качество для успешного трейдера [4]. Другими необходимыми условиями, приводящими к успеху в биржевой торговле, являются грамотное управление капиталом и умение принимать решения, т.е. планировать торговлю и следовать своему плану. При этом в основе анализа рынка с разной степенью успешности могут применяться самые различные подходы и концепции – будь то теория Доу, волны Эллиотта, случайное блуждание или методы теории хаоса.

Как правило, каждый метод анализа рынка возникает из попытки взглянуть на механизм формирования рыночных цен с позиций определенной концепции или парадигмы. Сторонники случайного блуждания уверены в непредсказуемости рынка и пользуются при выборе торговой стратегии методами теории вероятностей. Поклонники технического анализа, напротив, уверены в том, что «история повторяется», и основывают свои решения на анализе прошлых движений цены, предполагая наличие долговременной памяти рынка и ее влияния на будущие движения.

Билл Вильямс, построив свою торговую тактику с позиций классического технического анализа, в качестве парадигмы, якобы лежащей в основе этой тактики, «притянул за уши» теорию хаоса, извратив и переврав ее основные идеи.

Действительно, анализ рынка с позиции теории сложных систем или науки о сложности, подразделами которой являются фрактальный анализ и теория хаоса, может занять место между случайным блужданием и техническим анализом – как истина, которая, как известно, лежит посередине. Такой анализ представляет собой новый взгляд на рынок как на сложную систему с большим количеством нелинейно взаимодействующих факторов и участников. Создание методов торговли на основе этой новой парадигмы – дело очень непростое, и пока в этом направлении делаются первые шаги [5]. Но желание стать первым «торговцем хаосом» или «магом фракталов», к сожалению, оказалось для Б. Вильямса и М. Чекулаева настолько сильным, что они готовы его оплачивать любой ценой.

Давайте попробуем вместе прочитать статью М. Чекулаева «Магия фракталов» и ее продолжение «Магия фракталов, или Насколько прав Билл Уильямс» [1]. Обратим внимание на те утверждения автора, которые либо абсолютно неправильны, либо искажают теорию, которая лежит в основе этих ничем не сдерживаемых фантазий. Я постараюсь, насколько это возможно, объяснить, в чем автор заблуждается, но приготовьтесь к тому, что иногда для объяснения мне придется пользоваться формулами.

О терминологии и не только

Автор на нескольких страницах пытается объяснить, что из себя представляет фрактал, утверждая, что «это перелом текущего тренда», «то, каким путем двигалась мысль». Он приводит изображение результатов рекуррентного анализа индекса Доу-Джонса (рисунок – «спектр фрактала») с требованием к читателям «почувствовать ощущения и впечатления». Ни то, ни другое не приводит к пониманию термина, к пониманию связи «симпатичных шляпок» в пакете анализа CQG с примерами фрактальной графики, иллюстрирующими статью.

На самом деле, фрактал происходит от латинского прилагательного «fractus», и в переводе означает «состоящий из фрагментов», а соответствующий латинский глагол «frangere» означает «разбивать», то есть создавать неправильные фрагменты. Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, – с середины 80-х годов прочно вошли в обиход математиков и программистов. Термин был предложен Бенуа Мандельбротом в 1975 г. для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 г. его книги «The Fractal Geometry of Nature» – «Фрактальная геометрия природы». Вот как объясняет сам Мандельброт смысл этого термина в эссе, написанном к книге «Красота фракталов» [6]: «В 1975 г. я придумал термин фрактал, чтобы дать название моей первой работе в этой области.

Однако я не стал приводить математическое определение, чувствуя, что это понятие, как и хорошее вино, требует выдержки, прежде чем оно будет «разлито по бутылкам». Все фигуры, которые я исследовал и называл фракталами, в моем представлении обладали свойством быть «нерегулярными, но самоподобными». ...Формулировка «нерегулярный, но самоподобный» была попыткой втиснуться между двумя возможностями, к которым эти теории сводились ранее. Первую из них иллюстрирует теория Евклида, исследующая упорядоченные и гладкие фигуры. Другая старая возможность была связана с фигурами произвольной сложности и неупорядоченности».

Рис. 1. Графики котировок GBP/USD в разных временных масштабах (2-х часовой, дневной, недельный).

Смысл понятия самоподобия ясен из рисунка временных рядов цены (рис. 1). Не зная единиц измерений по осям, ни один трейдер не отличит на глаз 2-часовой график от дневного или недельного. Но мы еще вернемся к понятию самоподобия при рассмотрении множества Мандельброта.

Истина против фантазий

Интригующее начало «фракталы, являясь порождением Хаоса...» требует соответствующей оговорки. Во-первых, далеко не все фракталы порождаются хаосом, и далеко не всегда в результате хаоса возникают фракталы. Во-вторых, под термином «хаос» подразумевается не «случайность» или «шум», а вполне определенное детерминированное поведение, которое может только выглядеть беспорядочным или случайным.

Фрактальные объекты могут порождаться многими путями. Простейший из способов создания геометрического фрактала – задать порождающее правило и выполнить последовательность итераций. Такие фракталы – самые наглядные. В двумерном случае их получают с помощью некоторой ломаной, называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Рис. 2. Фрактальная кривая Коха.

Рассмотрим один из таких фрактальных объектов – триадную кривую Коха [7]. Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис. 2) – это нулевое поколение кривой Коха. Далее каждое звено заменяется образующим элементом, обозначенным на рис. 2 через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Коха. В первом поколении – это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной d=1/3. Длина всей кривой первого поколения L в зависимости от длины звена d равна L=4/3.

Для получения следующего поколения проделываются те же действия – каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Во втором поколении получаем кривую, состоящую из 16 звеньев, каждое длиной d=1/9, общая длина кривой равна L=(4/3)2=16/9. Итак, для получения каждого последующего поколения все звенья предыдущего необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом.

На рис. 2 представлены пять поколений кривой. При n, стремящемся к бесконечности, кривая Коха становится фракталом.

Длина каждого звена n-го поколения составляет d=3n. Представим число поколений генерации в виде n= - Log d/Log 3. Длина всего предфрактала определяется формулой L(d)=d1-Log 4/Log 3. Если предположить, что мы измеряем длину этой кривой с помощью циркуля с раствором d, то получается, что длина линии зависит от раствора измерительного инструмента! Поскольку это свойство справедливо для всех фрактальных объектов, то обычные геометрические меры, как длина или объем, не годятся для описания таких объектов. Вместо них используется понятие фрактальной размерности, а не «фракционного измерения», как написано в обсуждаемой статье (разница между размерностью и измерением примерно такая же, как разница между размером пиджака и его примеркой). Так вот, фрактальной размерностью называется показатель степени D в формуле связи длины L фрактальной кривой с раствором d измерительного инструмента: L(d) ~ d1-D. Для кривой Коха фрактальная размерность равна D=Log 4/Log 3=1.2628...

С точки зрения евклидовой геометрии, в которой прямая имеет размерность 1, а плоскость – 2, это означает, что такой объект находится в некоем промежуточном положении – уже не прямая, но еще и не плоскость. Что и говорить – объект необычный – длина кривой Коха бесконечна, хотя сама кривая помещается в ограниченном участке плоскости.

Решение задачи об измерении береговой линии, о которой упоминает М. Чекулаев, отнюдь не является «явным признаком сумасшествия», а только лишь показывает неприменимость методов евклидовой геометрии к фрактальным объектам.

Здесь же хочется сказать пару слов в защиту «Евклидово-Ньютоновского мира», который М. Чекулаев списал на «свалку истории», логично, как ему показалось, придя к «простой мысли о том, что вся предыдущая история человечества была глубочайшим заблуждением, равно как и все, что происходит от Евклидово-Ньютоновского мира».

У каждого метода и подхода существуют свои преимущества и ограничения. Теория сложных систем не опровергла существующего представления о законах Природы. Она позволила определить границы применимости такого представления и предложила методы и модели, которые хорошо описывают некоторые явления за этими границами. В очень многих случаях мировоззрение, формирующееся по Аристотелю, будет более подходящим – кратчайшим путем между двумя точками по-прежнему является прямая. Линейное мышление человеку более свойственно: в человеческое восприятие сложных, беспорядочных объектов самой природой заложено свойство пренебрегать деталями объекта и выделять в них наиболее существенные признаки. Доказательством тому может служить представление о фракталах в обсуждаемой статье.

Окончание следует

Литература:

1. Чекулаев М. Магия фракталов, или Насколько прав Билл Уильямс // Валютный спекулянт, 2000, № 6, с. 18-22; 2000, № 7, с. 40-45; 2000, № 8, с. 41-46.

2. Вильямс Б. Торговый хаос. Экспертные методики максимизации прибыли / Пер с англ. – М.: Аналитика, 2000.

3. Тарасенко В. Особенности введения понятия фрактала // Московский международный синергетический форум, http://www.iph.ras.ru: 8101/~mifs/.

4. Babcock B. Chaos Theory and Market Reality // http://www.cl.spb.ru/ moysha/clever/Bruce5.html.

5. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка / Пер. с англ. – М.: Мир, 2000.

6. Пейтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов / Пер. с англ. – М.: Мир, 1993.

7. Федер Е. Фракталы / Пер. с англ. – М.: Мир, 1991.